工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案 
习题一 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A : (1) 抛一
枚硬币两次,观察出现的面,事件 A = {两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一
分钟内接到的呼叫次数,事件 A = { 一分钟内呼叫次数不超过 3 次}; (3) 从一批灯
泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件 A = { 寿命在 2000 到 2500 小时之间}. 解 (1)
= {( +,+), (+,), (,+), (,)} , A = {(+,+), (,)} . (2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数,则 =
{ X = k | k = 0,1,2,LL} , A = { X = k | k = 0,1,2,3} . (3) 记 X 为抽到的灯泡的寿命
(单位:小时) ,则 = { X ∈ (0, + ∞)} , A = { X ∈ (2000, 2500)} . 2. 袋中有 10 个球,
分别编有号码 1 至 10, 从中任取 1 球, A = {取得球的号码是偶数}, = {取 设 B 得
球的号码是奇数}, C = {取得球的号码小于 5},问下列运算表示什么事件: (1) A U
B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C ;(6) B U C ;(7) A C . 解 (1) A U B = 是必然事件;
(2) AB = φ 是不可能事件; (3) AC = {取得球的号码是 2,4}; (4) AC = {取得球的
号码是 1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C = {取得球的号码为奇数,且不小于 5} = {取得球
的号码为 5,7,9}; (6) B U C = B I C = {取得球的号码是不小于 5 的偶数} = {取得
球的号码为 6,8,10}; (7) A C = AC = {取得球的号码是不小于 5 的偶数}={取得球
的号码为 6,8,10} 1 1 3 3. 在区间 [0 , 2] 上任取一数,记 A = x < x ≤ 1 , B = x ≤ x ≤ ,
求下列事件的表达式: 2 2 4 (1) A U B ;(2) A B ;(3) AB ;(4) A U B . 1 3 解 (1) A U
B = x ≤ x ≤ ; 2 4 1 3 1 1 3 (4) A U B = A U x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 2 = x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 1
或 < x ≤ 2 4. 用事件 A, B, C 2 2 4 4 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现, B,
C 都不出现(记为 E1 ) ; (2) A, B 都出现, C 不出现(记为 E 2 ) ; (3) 所有三个事件
都出现(记为 E3 ) ; (4) 三个事件中至少有一个出现(记为 E 4 ) ; (5) 三个事件都不
出现(记为 E5 ) ; (6) 不多于一个事件出现(记为 E 6 ) ; (7) 不多于两个事件出现
(记为 E 7 ) ; (8) 三个事件中至少有两个出现(记为 E8 ) . 解 (1) E1 = AB C ; (3) E3
= ABC ; (5) E5 = A B C ; (2) E 2 = ABC ; (4) E 4 = A U B U C ; (6) E6 = A B C U
AB C U A BC U A B C ; ww (7) E 7 = ABC = A U B U C ;(8) E8 = AB U AC U
BC . 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设 Ai 表
示事件"第 i 次 w. kh 1 (2) A B = x 0 ≤ x ≤ 或 1 < x ≤ 2 I B = 2 (3) 因为 A B ,所以
AB = φ ; da w. 1 x ≤ x ≤ 4 1 U x1 < x ≤ 2 co 3 ; 2 m 抽到废品" i = 1,2,3 ,试用 Ai 表
示下列事件: , (1) 第一次,第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废
品; (3) 三次都抽到废品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品. 解
(1) A1 U A2 ; (2) A1 A2 A3 ; (3) A1 A2 A3 ; (4) A1 U A2 U A3 ; (5) A1 A2 A3 U A1
A2 A3 U A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击,设 Ai ={第 i 次射击命中}, i = 1,2,3 , B =
{三次射击恰好命中二次}, C = {三次射击至少命中二次};试用 Ai 表示 B 和 C . 解
B = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 C = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3
习题二解答 w. 1.从一批由 45 件正品,5 件次品组成的产品中任取 3 件产品,求
其中恰有 1 件次品的概率. 50 解 这是不放回抽取,样本点总数 n = ,记求概率的事
件为 A ,则有利于 A 的样本点数 3 45 5 k = . 于是 2 1 45 5 45 × 44 × 5 × 3! 99 k 2 1
P( A) = = = = 50 × 49 × 48 × 2! 392 n 50 3 2.一口袋中有 5 个红球及 2 个白球,从这
袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后, 再从这袋中任取一球,设每次取球
时袋中各个球被取到的可能性相同.求 (1) 第一次,第二次都取到红球的概率; (2)
第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红,白各一的概率;
(4) 第二次取到红球的概率. 解 本 题 是 有 放 回 抽 取 模 式 , 样 本 点 总 数 n = 7
2 . 记 (1)(2)(3)(4) 题 求 概率 的 事 件 分 别 为 A, B, C , D . kh 25 5 P( A) = = 49 7
5 × 2 10 (ⅱ) 有利于 B 的样本点数 k B = 5× 2 ,故 P( B) = 2 = 49 7 20 (ⅲ) 有利于
C 的样本点数 k C = 2 × 5 × 2 ,故 P(C ) = 49 7 × 5 35 5 = . (ⅳ) 有利于 D 的样本点
数 k D = 7 × 5 ,故 P( D) = 2 = 49 7 7 3.一个口袋中装有 6 只球,分别编上号码 1 至
6,随机地从这个口袋中取 2 只球,试求:(1) 最 小号码是 3 的概率;(2) 最大号码是 3
的概率. 解 本题是无放回模式,样本点总数 n = 6 × 5 . (ⅰ) 最小号码为 3,只能从
编号为 3,4,5,6 这四个球中取 2 只,且有一次抽到 3,因而有利 2×3 1 样本点数为 2
× 3 ,所求概率为 = . 6×5 5 (ⅱ) 最大号码为 3,只能从 1,2,3 号球中取,且有一次取
到 3,于是有利样本点数为 2 × 2 , (ⅰ)有利于 A 的样本点数 k A = 5 2 ,故 ww da w.
2 2× 2 2 = . 6 × 5 15 4.一个盒子中装有 6 只晶体管,其中有 2 只是不合格品,现在
作不放回抽样,接连取 2 次, 每次取 1 只,试求下列事件的概率: (1) 2 只都合格; (2)
1 只合格,1 只不合格; (3) 至少有 1 只合格. 解 分别记题(1),(2),(3)涉及的事件为
A, B, C ,则 4 2 4 × 3 × 2 2 P( A) = = = 6 6 × 5× 2 5 2 4 2 1 1 4 × 2 × 2 8 P( B) = = =
6×5 15 6 2 注意到 C = A U B ,且 A 与 B 互斥,因而由概率的可加性知 2 8 14 P(C )
= P( A) + P( B) = + = 5 15 15 5.掷两颗骰子,求下列事件的概率: (1) 点数之和为 7;
(2) 点数之和不超过 5;(3) 点数之和为偶数. 解 分别记题(1),(2),(3)的事件为 A, B,
C ,样本点总数 n = 6 2 (ⅰ) A 含样本点 (2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 ∴ P
( A) = 2 = 6 6 (ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
10 5 ∴ P( B) = 2 = 18 6 ( ⅲ ) C 含 样 本 点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),
(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点. 18 1
∴ P(C ) = = 36 2 6.把甲,乙,丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去,假设
每间宿舍最多可住 8 人, 试求这三名学生住不同宿舍的概率. 解 记 求 概 率 的 事
件 为 A , 样 本 点 总 数 为 53 , 而 有 利 A 的 样 本 点 数 为 5 × 4 × 3 , 所 以 5 × 4
× 3 12 P ( A) = = . 25 53 7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三
位,求下列事件的概率: "其中恰有一位精通英语" ; (1) 事件 A : (2) 事件 B : "其
中恰有二位精通英语" ; (3) 事件 C : "其中有人精通英语" . 5 解 样本点总数为 3
所求概率为 2 3 1 2 2 × 3 × 3! 6 3 (1) P( A) = = = = ; 5 × 4 × 3 10 5 5 3 (3) 因 C = A
U B ,且 A 与 B 互斥,因而 3 3 9 P(C ) = P( A) + P( B) = + = . 5 10 10 8.设一质点一
定落在 xOy 平面内由 x 轴, y 轴及直线 x + y = 1 所围成的三角形内,而落在这三
SA 1 角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线 x = 1 / 3 的左边的概率. y
解 记求概率的事件为 A ,则 S A 为图中阴影部分,而 | |= 1 / 2 , 1 1 2 1 5 5 | S A |= =
× = 2 2 3 2 9 18 最后由几何概型的概率计算公式可得 | S | 5 / 18 5 O P( A) = A = =
. || 1/ 2 9 9. (见前面问答题 2. 3) 10.已知 A B , P( A) = 0.4 , P( B) = 0.6 ,求 2 2 3 2 1
3 × 3! 3 (2) P( B) = = ; = 5 × 4 × 3 10 5 3 1/3 图 2.3 ww 1.已知随机事件 A 的概率
P( A) = 0.5 ,随机事件 B 的概率 P( B) = 0.6 ,条件概率 P( B | A) = 0.8 , 试求
P( AB ) 及 P( A B ) . 解 P( AB ) = P( A) P ( B | A) = 0.5 × 0.8 = 0.4 P ( A B ) = P ( A
U B ) = 1 P ( A U B ) = 1 P ( A) P ( B ) + P ( AB ) = 1 0.5 0.6 + 0.4 = 0.3 2.一批零件
共 100 个,次品率为 10%,从中不放回取三次(每次取一个) ,求第三次才取得正 品
的概率. 10 × 9 × 90 81 9 = = 解 p= . 100 × 99 × 98 99 × 98 1078 3.某人有一笔资金,
他投入基金的概率为 0.58,购买股票的概率为 0.28,两项投资都做的概 率为 0.19
(1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入
基金的概率是多少? 解 记 A = {基金}, B = {股票},则 P( A) = 0.58, P( B) = 0.28,
P( AB ) = 0.19 w. kh (4) P( B A) = P( A B) = P(φ ) = 0 , P( A B ) = P( A U B) = 1
P( A U B) = 1 0.6 = 0.4 ; (5) P( A B) = P( B A) = 0.6 0.4 = 0.2. 11. A, B 是两个事件,
设 已知 P( A) = 0.5 ,P( B) = 0.7 ,P( A U B) = 0.8 , 试求 P( A B) 及 P( B A). 解 注 意
到 P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) , 因 而 P( AB ) = P( A) + P( B) P( A U B) =
0.5 + 0.7 0.8 = 0.4 . 于 是 , P( A B) = P( A AB ) = P( A) P( AB) = 0.5 0.4 = 0.1 ; P( B
A) = P( B AB) = P( B) P( AB) = 0.7 0.4 = 0.3 . da w. 习题三解答 课 后 答 案 (1)
P( A ) , P(B ) ;(2) P( A U B) ;(3) P( AB ) ;(4) P( B A), P( A B ) ;(5) P( A B) . 解 (1)
P( A ) = 1 P( A) = 1 0.4 = 0.6 , P( B ) = 1 P( B) = 1 0.6 = 0.4 ; (2) P( A U B) = P( A)
+ P( B) P( AB ) = P( A) + P ( B) P( A) = P( B) = 0.6 ; (3) P( AB ) = P( A) = 0.4 ; 网
co 1 m x. (1) (2) P( B | A) = P( A | B) = P( AB) 0.19 = = 0.327. P( A) 0.58 co P( AB)
0.19 = = 0.678 . P( B) 0.28 4.给定 P( A) = 0.5 , P( B) = 0.3 , P( AB ) = 0.15 ,验证下
面四个等式: P( A | B) = P( A), P( A | B ) = P( A), P( B | A) = P( B) , P( B | A ) =
P( B). P( AB) 0.15 1 = = = P( A) 解 P( A | B) = P( B) 0.3 2 P( AB ) P( A) P( AB ) 0.5
0.15 0.35 = P( A | B ) = = = = 0.5 = P( A) P( B ) 1 P( B) 0.7 0.7 P( AB) 0.15 P( B | A)
= = = 0.3 = P( B) P( A) 0.5 P( A B) P( B) P( AB ) 0.3 0.15 0.15 P( B | A ) = = = = =
P( B) 1 P ( A) 0.5 0.5 P( A ) 5.有朋自远方来,他坐火车,船,汽车和飞机的概率分别
为 0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车, 迟到的概率是 0.25,若坐船,迟到的概率是 0.3,若坐汽
车,迟到的概率是 0.1,若坐飞机则不会迟 到.求他最后可能迟到的概率. m 网 解 且
按题意 则 B = {迟到},A1 = {坐火车},A2 = {坐船},A3 = {坐汽车}, A4 = {乘飞机},
B = U BAi , 4 P( B | A1 ) = 0.25 , P( B | A2 ) = 0.3 , P( B | A3 ) = 0.1 , P( B | A4 ) = 0
. 由全概率公式有: 4 i =1 6.已知甲袋中有 6 只红球,4 只白球;乙袋中有 8 只红球,6
只白球.求下列事件的概率: (1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红
球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球. 解 (1) 记 B = {该球是红球}, A1
= {取自甲袋}, A2 = {取自乙袋},已知 P( B | A1 ) = 6 / 10 , P( B | A2 ) = 8 / 14 ,所以
1 6 1 8 41 P( B) = P( A1 ) P( B | A1 ) + P( A2 ) P( B | A2 ) = × + × = 2 10 2 14 70 14
7 = (2) P( B) = 24 12 7.某工厂有甲,乙,丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量
分别占全厂的 25%,35%, 40%,各车间产品的次品率分别为 5%,4%,2%,求该厂
产品的 次品率 . 解 0.25 × 0.05 × +0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0125 + 0.0140 +
0.008 = 0.0345 = 3.45% 8.发报台分别以概率 0.6,0.4 发出 " " 和 " " ,由于通信受
到干扰,当发出 " " 时,分别以概 率 0.8 和 0.2 收到 " " 和 " " ,同样,当发出信号
" " 时,分别以 0.9 和 0.1 的概率收到 " " 和 " " . 求(1) 收到信号 " " 的概率;(2) 当
收到 " " 时,发出 " " 的概率. 解 记 B = {收到信号 " " }, A = {发出信号 " " } (1)
P( B) = P( A) P( B | A) + P( A ) P ( B | A ) = 0.6 × 0.8 + 0.4 × 0.1 = 0.48 + 0.04 =
0.52 P( A) P( B | A) 0.6 × 0.8 12 = = . (2) P( A | B) = P ( B) 0.52 13 9.设某工厂有 A,
B, C 三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的 25%,35%, 40%,
各个车间成品中次品的百分比分别为 5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得
到的是次 ww w. kh 课 后 P( B) = ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = 0.3 × 0.25 + 0.2 × 0.3 + 0.1
× 0.1 = 0.145 da w. i =1 答 案 http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
后 再由 P( A B ) = 1 / 9 ,有 1 / 9 = P( A ) P ( B ) = (1 P( A))(1 P( B)) = (1 P( A)) 2 所
以 1 P( A) = 1 / 3 .最后得到 P( B) = P( A) = 2 / 3. 12.甲,乙,丙三人同时独立地向同
一目标各射击一次,命中率分别为 1/3,1/2,2/3,求目标 被命中的概率. da w. 答 案
网 11.已知 A, B 独立,且 P( A B ) = 1 / 9, P( AB ) = P( A B) ,求 P( A), P( B ) . 解 因
P( AB ) = P( A B) ,由独立性有 P( A) P( B ) = P( A ) P( B ) 从而 P( A) P( A) P( B) =
P( B) P( A) P( B) 导致 P( A) = P( B) co B = U Ai ,因 i =1 3 P ( A U B ) = P ( AB ) =
1 P ( A) P ( B ) = 1 pq 而 ww 3 4 则 A = A1 A2 U A3 A4 U A5 A6 , 所以 5 6 P( A) =
P( A1 A2 ) + P( A3 A4 ) + P( A5 A6 ) 图 3.1 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A3 A4 A5 A6 )
P( A1 A2 A5 A6 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 ) = 3(1 p) 2 3(1 p ) 4 + (1 p) 6 14.假设
摘要：
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习题一1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:(1)抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A={两次出现的面相同};(2)记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件A={一分钟内呼叫次数不超过3次};(3)从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件A={寿命在2000到2500小时之间}.解(1)={(+,+),(+,),(,+),(,)},A={(+,+),(,)}.(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数,则={X=k|k=0,1,2,LL},A={X=k|k=0,1,2,3}.(3)记X为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则={X∈(0,+∞)},A={X∈(2000,2500)}....
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作者：文小白
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