概率论与数理统计公式整理(超全精华)

3.0 文小白 2023-09-15 59 0 1.06MB 26 页 10文币
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第1章 随机事件及其概率
（ 1 ） 排 列
组合公式
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
（ 2 ） 加 法
和乘法原
理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由
n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由
n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
（ 3 ） 一 些
常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（ 4 ） 随 机
试验和随
机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一
个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随
机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（ 5 ） 基 本
事件、样本
空间和事
件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具
有如下性质：
① 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
② 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字
母
A，B，C，
…表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同
理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
（ 6 ） 事 件
的关系与
运算
① 关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件
B
的组成部分，（
A
发生必有事件
B
发
生）：
如果同时有 ， ，则称事件
A
与事件
B
等价，或称
A
等于
B
：
A=B
。
A、B
中至少有一个发生的事件：
A B
，或者
A
+
B
。
属于
A
而不属于
B
的部分所构成的事件，称为
A 与 B
的差，记为
A-B
，也可
表示为
A-AB
或者 ，它表示
A
发生而
B
不发生的事件。
A、B
同时发生：
A
B
，或者
AB
。A
B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为
A
。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。
1
② 运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：
11 i
i
i
i
AA
，
（ 7 ） 概 率
的公理化
定义
设
为样本空间，
A
为事件，对每一个事件
A
都有一个实数 P(A)，若
满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件
1
A
，
2
A
，…有
1
1
)(
i
i
i
iAPAP
常称为可列（完全）可加性。
则称 P(A)为事件
A
的概率。
（ 8 ） 古 典
概型
1° ，
2° 。
设任一事件
A
，它是由 组成的，则有
P(A)
= =
（ 9 ） 几 何
概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本
空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为
几何概型。对任一事件 A，
。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。
（ 10 ） 加
法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（ 11 ） 减
法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω 时，P( )=1- P(B)
（ 12 ） 条
件概率
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 为事件 A 发生条件下，
事件 B 发生的条件概率，记为 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（ 13 ） 乘
法公式
乘法公式：
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
…
)
n
A
)|()|()(
213121
AAAPAAPAP
……
21
|( AAAP
n
…
)
1n
A
。
（ 14 ） 独
立性
① 两个事件的独立性
设事件
A
、
B
满足
)()()( BPAPABP
，则称事件
A
、
B
是相互独立
的。
1
若事件
A
、
B
相互独立，且
0)( AP
，则有
)(
)(
)()(
)(
)(
)|( BP
AP
BPAP
AP
ABP
ABP
若事件
A
、
B
相互独立，则可得到
A
与
B
、
A
与
B
、
A
与
B
也都相互独
立。
必然事件
和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
② 多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
（ 15 ） 全
概公式
设事件
n
BBB ,,,
21
满足
1°
n
BBB ,,,
21
两两互不相容，
),,2,1(0)( niBP
i
，
2°
n
i
i
BA
1
，
则有
)|()()|()()|()()(
2211 nn
BAPBPBAPBPBAPBPAP
。
（ 16 ） 贝
叶斯公式
设事件
1
B
，
2
B
，…，
n
B
及
A
满足
1°
1
B
，
2
B
，…，
n
B
两两互不相容，
)(BiP
>0，
i
1，2，…，
n
，
2°
n
i
i
BA
1
，
0)( AP
，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（
1i
，
2
，…，
n
），通常叫先验概率。 ，（
1i
，
2
，…，
n
），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，
并作出了“由果朔因”的推断。
（ 17 ） 伯
努利概型
我们作了
n
次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，
A
发生或
A
不发生；
n
次试验是重复进行的，即
A
发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验
A
发生与否与其他次试验
A
发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为
n
重伯努利试验。
用
p
表示每次试验
A
发生的概率，则
A
发生的概率为
qp 1
，用
)(kP
n
表示
n
重伯努利试验中
A
出现
)0( nkk
次的概率，
knk
k
n
n
qpkP
C
)(
，
nk ,,2,1,0
。
1
摘要：

第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的...

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